Abaixo, separamos uma lista de dez (10) exercícios de vestibular sobre logaritmos. As resoluções encontram-se no final da postagem.
Recomendados a leitura prévia do nosso material teórico. Clique aqui para acessar.
1. (UEL-PR–2007) Considere A, B e C números reais positivos com $A≠1$, $B≠1$ e $C≠1$. Se $log_{A}{B}=2$ e $log_{C}{A}=\frac{3}{5}$, conclui-se que o valor de $log_{B}{C}$ é:Recomendados a leitura prévia do nosso material teórico. Clique aqui para acessar.
a) $\frac{1}{2}$
b) $\frac{5}{3}$
c) $\frac{1}{6}$
d) $\frac{5}{6}$
e) $\frac{6}{5}$
2. (Unifor-CE–2009) Em 1987, uma indústria farmacêutica
iniciou a fabricação de certo tipo de medicamento e, desde
então, sua produção tem crescido à taxa de 8% ao ano.
Assim, em que ano a produção de tal medicamento
quadruplicou a quantidade fabricada em 1987?
São dadas as aproximações: log 2 = 0,30; log 3 = 0,48.
a) 2002
b) 2003
c) 2004
d) 2005
e) 2006
3. (Unimontes-MG–2010) Se $log_{5}{(a-b)}=x$ e $a+b=25$, então o valor de $log_{5}{(a^2-b^2)}$, em função de x, é
a) $x+5$
b) $x-2$
c) $x+2$
d) $x-5$
4. (UFMG) O valor de $x$ que satisfaz a equação $2.log_{10}{x}+log_{10}{b}-log_{10}{3}=log_{10}{(\frac{9.b}{x^4})}$, em que $log$ representa o logaritmo decimal, pertence ao intervalo
a) $[0, \frac{1}{2}]$
b) $[\frac{1}{2}, 1]$
c) $[1,2]$
d) $[2,3]$
e) $[3,4]$
5. (FGV-SP) O valor da expressão $[log_{2}{0,5}+log_{3}{\sqrt{27}}-log_{\sqrt{2}}{8}]^2$ é
a) $\frac{121}{4}$
b) $\frac{289}{4}$
c) $\frac{49}{4}$
d) $\frac{169}{4}$
e) $N.d.a.$
6. (UFU-MG–2010) Existem alguns esportes em que a sensação de liberdade e perigo convivem lado a lado. Este é o caso do esqui na neve. Suponha que um esquiador, ao descer uma montanha, seja surpreendido por uma avalanche que o soterra totalmente. A partir do instante em que ocorreu o soterramento, a temperatura de seu corpo decresce ao longo do tempo t (em horas), segundo a função T(t) dada por:
$T(t) = 3t
+ 36
3t$ (T em graus Celsius), com t ≥ 0
Quando a equipe de salvamento o encontra, já sem vida, a temperatura de seu corpo é de 12 graus Celsius. De acordo com as condições dadas, pode-se afirmar que ele ficou soterrado por, aproximadamente,
Utilize a aproximação: $log_{3}{2}= 0,6$
a) 2h e 36 minutos.
b) 36 minutos.
c) 1h e 36 minutos.
d) 3h e 36 minutos.
7. (FUVEST) Se $log_{10}{8}=a$, então $log_{10}{5}$ vale:
a) $a^3$
b) $5a-1$
c) $\frac{2a}{3}$
d) $1 + \frac{1}{3}$
e) $1 - \frac{1}{3}$
8. (FGV-SP) O valor de $5^{(-log_{5}{3}).(log_{3}{7})}$ é
a) $\frac{1}{3}$
b) $3$
c) $7$
d) $\frac{1}{7}$
e) $\frac{1}{5}$
9. (PUC-SP) Em 1996, uma indústria iniciou a fabricação de 6 000 unidades de certo produto e, desde então, sua produção tem crescido à taxa de 20% ao ano. Nessas condições, em que ano a produção foi igual ao triplo da de 1996? (Dados: log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48)
a) 1998
b) 1999
c) 2000
d) 2001
e) 2002
10. (UNESP–2006) O nível sonoro N, medido em decibéis (dB), e a intensidade I de um som, medida em watt por metro quadrado (W/m2), estão relacionados pela expressão:
$N = 120 + 10.log_{10}{I}$
Suponha que foram medidos em certo local os níveis sonoros, N1 e N2, de dois ruídos com intensidades $I_1$ e $I_2$‚ respectivamente. Sendo $N1– N2 = 20 dB$, a razão $\frac{I_1}{I_2}$ é
a) $10^-2$
b) $10^-1$
c) $10$
d) $10^2$
e) $10^3$
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Resoluções:
1.
Para resolver este exercício, precisamos utilizar a propriedade de mudança de base.
$log_{B}{C}=\frac{log_{A}{C}}{log_{A}{B}}$
Lembrando que $log_{a}{b}=\frac{1}{log_{b}{a}}$
Assim:
$log_{B}{C}=\dfrac{\frac{5}{3}}{2}=\frac{5}{6}$
Resposta: D
2.
Para resolvermos, primeiramente, temos que estabelecer a fórmula que relaciona a produção inicial ($P_i$) e a produção final ($P_f$). Sabemos que no ano $x$ a produção foi quatro vezes maior que a produção de 1987. Então,
$4P_i=P_f$ (I)
Como um aumento anual de 8%, podemos deduzir que
$P_f=P_i.(1,08)^x$ (II)
Substituindo I em II, temos:
$4P_i=P_i.(1,08)^x$
Cortando $P_i$ nos dois lados da igualdade:
$4=(1,08)^x$
Agora, podemos aplicar o $log$:
$log_{10}{4}=log_{10}{1,08}^x$
$log_{10}{2^2}=x.log_{10}{(\frac{108}{100})}$
$2.log_{10}{2}=x.(log_{10}{108}-log_{10}{10^2})$, sabendo que o valor de $log_{10}{2}$ foi dado:
$\frac{2.0,3}{x}=log_{10}{108}-2.log_{10}{10}$
Devemos fatorar o 108. Após fazer isso, obtemos $108=2^2.3^3$. Assim:
$\frac{0,6}{x}=log_{10}{(2^2.3^3)}-2.1$
$\frac{0,6}{x}=log_{10}{2^2}+log_{10}{3^3}-2$
$\frac{0,6}{x}=2.log_{10}{2}+3.log_{10}{3}-2$
$\frac{0,6}{x}=2.0,3+3.0,48-2$
$\frac{0,6}{x}=0,6+1,44-2$
$\frac{0,6}{x}=0,04$
$\frac{0,6}{0,04}=x$
$x=15$
Ou seja, demoraram 15 anos para que a quantidade de medicamentos produzidos quadruplicasse.
$1987+15=2002$
Resposta: A
3.
Primeiro, é necessário perceber que podemos transformar o logaritmando da equação que se pede em um produto notável. Assim:
$log_{5}{(a^2-b^2)}$
$log_{5}{(a+b)(a-b)}$
Agora, a partir dos outros dados, podemos encontrar o resultado. Veja:
$a+b=25$
Portanto:
$log_{5}{25.(a-b)}$
Precisamos encontrar o resultado de $a-b$. Para isso, nos voltamos ao logaritmo dado no enunciado.
$log_{5}{(a-b)}=x$
$5^x=a-b$
Agora, basta substituir na primeira equação.
$log_{5}{(25.5^x)}$
$log_{5}{(5^2.5^x)}$
$log_{5}{5^2}+log_{5}{5^x}$
$2.1+x.1$
$2+x$
Resposta: C
4.
Para resolver esta questão, podemos tomar dois caminhos: juntamos os elementos do lado esquerdo da equação em um único logaritmando, ou separamos os elementos do lado direito em vários.
Vamos usar o primeiro caminho.
$2.log_{10}{x}+log_{10}{b}-log_{10}{3}=log_{10}{(\frac{9.b}{x^4})}$
$log_{10}{x^2}+log_{10}{b}-log_{10}{3}=log_{10}{(\frac{9.b}{x^4})}$
$log_{10}{(\frac{x^2.b}{3})}=log_{10}{(\frac{9.b}{x^4})}$
Como existem, nos dois lados da equação, um $log$ com a mesma base, podemos eliminá-los. Então, teremos:
$\frac{x^2.b}{3}=\frac{9.b}{x^4}$ (cancelando $b$)
$\frac{x^2}{3}=\frac{9}{x^4}$
$x^6=27$
Para resolver de forma mais fácil esta raiz sexta, podemos fatorar os dois lados da equação, ficando:
$(x^2)^3=3^3$
$x^2=3$
$x=\sqrt{3}$
A resposta é algo entre 1 e 2.
Resposta: C
5.
Para responder este exercício, iremos mobilizar as propriedades do logaritmo.
$[log_{2}{0,5}+log_{3}{\sqrt{27}}-log_{\sqrt{2}}{8}]^2$
$[log_{2}{0,5}+log_{3}{(3^3)^\frac{1}{2}}-log_{2^\frac{1}{2}}{2^3}]^2$
$[log_{2}{0,5}+\frac{3}{2}.log_{3}{3}-2.3.log_{2}{2}]^2$
$[log_{2}{0,5}+\frac{3}{2}.1-6.1]^2$
$[log_{2}{\frac{1}{2}}+\frac{3}{2}-6]^2$
$[log_{2}{1}-log_{2}{2}-\frac{9}{2}]^2$
$[0-1-\frac{9}{2}]^2$
$[-1-\frac{9}{2}]^2$
$[-\frac{11}{2}]^2$
$\frac{121}{4}$
Resposta: A
6.
Para resolver esta questão, temos que aplicar um macete usado na resolução de equações exponenciais. Trata-se de substituir a variável que contém a incógnita da equação por outra. Assim:
$3^t=y$
A equação fica, portanto:
$12=y+\frac{36}{3y}$
Fazendo a soma entre frações, obtemos:
$12=\frac{y^2+36}{y}$
Seguindo:
$12y=y^2+36$
$y^2-12y+36$
Após aplicarmos bháskara, obteremos uma raiz de valor $6$.
Então:
$3^t=y$
$3^t=6$
$3^t=3.2$
Aplica-se o log de 3 nos dois lados.
$log_{3}{3^y}=log_{3}{(3.2)}$
$log_{3}{3^y}=log_{3}{3}+log_{3}{2}$
$y.1=1+0,6$
$y=1,6$
Como 0,6 horas correspondem a 36min. A resposta correta é 1h e 36min.
Resposta: C
7.
Para resolver este exercício a primeira coisa que deve ser feita é obter o valor de $log_{10}{2}$ a partir de $log_{10}{8}$, que sabemos que vale $a$.
Então:
$log_{10}{8}=a$
$log_{10}{2^3}=a$
$3.log_{10}{2}=a$
$log_{10}{2}=\frac{a}{3}$
Logo, sabemos que $log_{10}{2}$ é igual a $\frac{a}{3}$
Agora, vamos resolver o que é pedido. O logaritmando de $log_{10}{5}$ pode ser transformado em uma divisão entre dois outros logaritmandos com resultados conhecidos: 10 e 2.
Veja:
$log_{10}{5}$
$log_{10}{(\frac{10}{2})}$, que, aplicando a propriedade, pode ser transformado em:
$log_{10}{10}-log_{10}{2}$
Como sabemos que $log_{a}{a}=1$ (propriedade) e que $log_{10}{2}=\frac{a}{3}$ (primeiro passo), podemos obter:
$1 - \frac{a}{3}$
Resposta: E
8.
Para resolver esta questão, você deve se lembrar que:
$a^{log_{a}{b}}=b$
Assim:
$5^{(-log_{5}{3}).(log_{3}{7})}$
$5^{(log_{5}{3^{-1}}).(log_{3}{7})}$
$3^{-1.(log_{3}{7})}$
$3^{(log_{3}{7^{-1})}}$
$7^{-1}$
$\frac{1}{7}$
Resposta: D
9.
A produção no ano x será dada por:
$P_f=P_i.(1,2)^x$
Como $P_f=3P_i$
$3P_i=P_i.(1,2)^x$
$3=1,2^x$
Aplicando log dos dois lados
$log_{10}{3}=log_{10}{(1,2)}^x$
$log_{10}{3}=log_{10}({\frac{12}{10}})^x$
$0,48=x.(log_{10}{12}-log_{10}{10})$
$0,48=x.[log_{10}{(2.2.3)}-1]$
$0,48=x.(log_{10}{2}+log_{10}{2}+log_{10}{3}-1)$
$0,48=x.(0,48+0,3+0,3-1)$
$0,48=x.(0,08)$
$x=\frac{0,48}{0,08}$
$x=6$
$1996+6=2002$
Resposta: E
10.
Temos dois níveis sonoros medidos, $N_1$ e $N_2$, associados às intensidades $I_1$ e $I_2$, respectivamente. Eles são definidos por:
(I) - $N_1=120+10.log_{10}{I_1}$
(II) - $N_2=120+10.log_{10}{I_2}$
Sabendo que $N_1-N_2=20db$, podemos substituir:
$120+10.log_{10}{I_1}-120+10.log_{10}{I_2}=20$
$10.log_{10}{I_1}-10.log_{10}{I_2}=20$, isolando o 10, temos:
$10.(log_{10}{I_1}.log_{10}{I_2})=20$
$log_{10}{I_1}.log_{10}{I_2}=2$
$log_{10}{\frac{I_1}{I_2}}=2$, usando a definição:
$\frac{I_1}{I_2}=10^2$
Resposta: D
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