Exercícios de vestibular sobre logaritmos - resolução comentada

Abaixo, separamos uma lista de dez (10) exercícios de vestibular sobre logaritmos. As resoluções encontram-se no final da postagem.

Recomendados a leitura prévia do nosso material teórico. Clique aqui para acessar.

1. (UEL-PR–2007) Considere A, B e C números reais positivos com

$A≠1$ ,

$B≠1$ e

$C≠1$ . Se

$log_{A}{B}=2$ e

$log_{C}{A}=\frac{3}{5}$ , conclui-se que o valor de

$log_{B}{C}$ é:

$\frac{1}{2}$

$\frac{5}{3}$

$\frac{1}{6}$

$\frac{5}{6}$

$\frac{6}{5}$

2. (Unifor-CE–2009) Em 1987, uma indústria farmacêutica iniciou a fabricação de certo tipo de medicamento e, desde então, sua produção tem crescido à taxa de 8% ao ano. Assim, em que ano a produção de tal medicamento quadruplicou a quantidade fabricada em 1987? São dadas as aproximações: log 2 = 0,30; log 3 = 0,48.

a) 2002

b) 2003

c) 2004

d) 2005

e) 2006

3. (Unimontes-MG–2010) Se

$log_{5}{(a-b)}=x$ e

$a+b=25$ , então o valor de

$log_{5}{(a^2-b^2)}$ , em função de x, é

$x+5$

$x-2$

$x+2$

$x-5$

4. (UFMG) O valor de

$x$ que satisfaz a equação

$2.log_{10}{x}+log_{10}{b}-log_{10}{3}=log_{10}{(\frac{9.b}{x^4})}$ , em que

$log$ representa o logaritmo decimal, pertence ao intervalo

a)

$[0, \frac{1}{2}]$
b)

$[\frac{1}{2}, 1]$
c)

$[1,2]$
d)

$[2,3]$
e)

$[3,4]$

5. (FGV-SP) O valor da expressão

$[log_{2}{0,5}+log_{3}{\sqrt{27}}-log_{\sqrt{2}}{8}]^2$ é

a)

$\frac{121}{4}$
b)

$\frac{289}{4}$
c)

$\frac{49}{4}$
d)

$\frac{169}{4}$
e)

$N.d.a.$

6. (UFU-MG–2010) Existem alguns esportes em que a sensação de liberdade e perigo convivem lado a lado. Este é o caso do esqui na neve. Suponha que um esquiador, ao descer uma montanha, seja surpreendido por uma avalanche que o soterra totalmente. A partir do instante em que ocorreu o soterramento, a temperatura de seu corpo decresce ao longo do tempo t (em horas), segundo a função T(t) dada por:

$T(t) = 3t + 36 3t$ (T em graus Celsius), com t ≥ 0

Quando a equipe de salvamento o encontra, já sem vida, a temperatura de seu corpo é de 12 graus Celsius. De acordo com as condições dadas, pode-se afirmar que ele ficou soterrado por, aproximadamente,

Utilize a aproximação:

$log_{3}{2}= 0,6$

a) 2h e 36 minutos.
b) 36 minutos.
c) 1h e 36 minutos.
d) 3h e 36 minutos.

7. (FUVEST) Se

$log_{10}{8}=a$ , então

$log_{10}{5}$ vale:

a)

$a^3$
b)

$5a-1$
c)

$\frac{2a}{3}$
d)

$1 + \frac{1}{3}$
e)

$1 - \frac{1}{3}$

8. (FGV-SP) O valor de

$5^{(-log_{5}{3}).(log_{3}{7})}$ é

a)

$\frac{1}{3}$
b)

$3$
c)

$7$
d)

$\frac{1}{7}$
e)

$\frac{1}{5}$

9. (PUC-SP) Em 1996, uma indústria iniciou a fabricação de 6 000 unidades de certo produto e, desde então, sua produção tem crescido à taxa de 20% ao ano. Nessas condições, em que ano a produção foi igual ao triplo da de 1996? (Dados: log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48)

a) 1998
b) 1999
c) 2000
d) 2001
e) 2002

10. (UNESP–2006) O nível sonoro N, medido em decibéis (dB), e a intensidade I de um som, medida em watt por metro quadrado (W/m2), estão relacionados pela expressão:

$N = 120 + 10.log_{10}{I}$

Suponha que foram medidos em certo local os níveis sonoros, N1 e N2, de dois ruídos com intensidades

$I_1$ e

$I_2$ ‚ respectivamente. Sendo

$N1– N2 = 20 dB$ , a razão

$\frac{I_1}{I_2}$ é

a)

$10^-2$
b)

$10^-1$
c)

$10$
d)

$10^2$
e)

$10^3$

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Resoluções:

1.

Para resolver este exercício, precisamos utilizar a propriedade de mudança de base.

$log_{B}{C}=\frac{log_{A}{C}}{log_{A}{B}}$

Lembrando que

$log_{a}{b}=\frac{1}{log_{b}{a}}$

Assim:

$log_{B}{C}=\dfrac{\frac{5}{3}}{2}=\frac{5}{6}$

Resposta: D

2.

Para resolvermos, primeiramente, temos que estabelecer a fórmula que relaciona a produção inicial (

$P_i$ ) e a produção final (

$P_f$ ). Sabemos que no ano

$x$ a produção foi quatro vezes maior que a produção de 1987. Então,

$4P_i=P_f$ (I)

Como um aumento anual de 8%, podemos deduzir que

$P_f=P_i.(1,08)^x$ (II)

Substituindo I em II, temos:

$4P_i=P_i.(1,08)^x$

Cortando

$P_i$ nos dois lados da igualdade:

$4=(1,08)^x$

Agora, podemos aplicar o

$log$ :

$log_{10}{4}=log_{10}{1,08}^x$

$log_{10}{2^2}=x.log_{10}{(\frac{108}{100})}$

$2.log_{10}{2}=x.(log_{10}{108}-log_{10}{10^2})$ , sabendo que o valor de

$log_{10}{2}$ foi dado:

$\frac{2.0,3}{x}=log_{10}{108}-2.log_{10}{10}$

Devemos fatorar o 108. Após fazer isso, obtemos

$108=2^2.3^3$ . Assim:

$\frac{0,6}{x}=log_{10}{(2^2.3^3)}-2.1$

$\frac{0,6}{x}=log_{10}{2^2}+log_{10}{3^3}-2$

$\frac{0,6}{x}=2.log_{10}{2}+3.log_{10}{3}-2$

$\frac{0,6}{x}=2.0,3+3.0,48-2$

$\frac{0,6}{x}=0,6+1,44-2$

$\frac{0,6}{x}=0,04$

$\frac{0,6}{0,04}=x$

$x=15$

Ou seja, demoraram 15 anos para que a quantidade de medicamentos produzidos quadruplicasse.

$1987+15=2002$

Resposta: A

3.

Primeiro, é necessário perceber que podemos transformar o logaritmando da equação que se pede em um produto notável. Assim:

$log_{5}{(a^2-b^2)}$

$log_{5}{(a+b)(a-b)}$

Agora, a partir dos outros dados, podemos encontrar o resultado. Veja:

$a+b=25$

Portanto:

$log_{5}{25.(a-b)}$

Precisamos encontrar o resultado de

$a-b$ . Para isso, nos voltamos ao logaritmo dado no enunciado.

$log_{5}{(a-b)}=x$

$5^x=a-b$

Agora, basta substituir na primeira equação.

$log_{5}{(25.5^x)}$

$log_{5}{(5^2.5^x)}$

$log_{5}{5^2}+log_{5}{5^x}$

$2.1+x.1$

$2+x$

Resposta: C

4.

Para resolver esta questão, podemos tomar dois caminhos: juntamos os elementos do lado esquerdo da equação em um único logaritmando, ou separamos os elementos do lado direito em vários.

Vamos usar o primeiro caminho.

$2.log_{10}{x}+log_{10}{b}-log_{10}{3}=log_{10}{(\frac{9.b}{x^4})}$

$log_{10}{x^2}+log_{10}{b}-log_{10}{3}=log_{10}{(\frac{9.b}{x^4})}$

$log_{10}{(\frac{x^2.b}{3})}=log_{10}{(\frac{9.b}{x^4})}$

Como existem, nos dois lados da equação, um

$log$ com a mesma base, podemos eliminá-los. Então, teremos:

$\frac{x^2.b}{3}=\frac{9.b}{x^4}$ (cancelando

$b$ )

$\frac{x^2}{3}=\frac{9}{x^4}$

$x^6=27$

Para resolver de forma mais fácil esta raiz sexta, podemos fatorar os dois lados da equação, ficando:

$(x^2)^3=3^3$

$x^2=3$

$x=\sqrt{3}$

A resposta é algo entre 1 e 2.

Resposta: C

5.

Para responder este exercício, iremos mobilizar as propriedades do logaritmo.

$[log_{2}{0,5}+log_{3}{\sqrt{27}}-log_{\sqrt{2}}{8}]^2$

$[log_{2}{0,5}+log_{3}{(3^3)^\frac{1}{2}}-log_{2^\frac{1}{2}}{2^3}]^2$

$[log_{2}{0,5}+\frac{3}{2}.log_{3}{3}-2.3.log_{2}{2}]^2$

$[log_{2}{0,5}+\frac{3}{2}.1-6.1]^2$

$[log_{2}{\frac{1}{2}}+\frac{3}{2}-6]^2$

$[log_{2}{1}-log_{2}{2}-\frac{9}{2}]^2$

$[0-1-\frac{9}{2}]^2$

$[-1-\frac{9}{2}]^2$

$[-\frac{11}{2}]^2$

$\frac{121}{4}$

Resposta: A

6.

Para resolver esta questão, temos que aplicar um macete usado na resolução de equações exponenciais. Trata-se de substituir a variável que contém a incógnita da equação por outra. Assim:

$3^t=y$

A equação fica, portanto:

$12=y+\frac{36}{3y}$

Fazendo a soma entre frações, obtemos:

$12=\frac{y^2+36}{y}$

Seguindo:

$12y=y^2+36$

$y^2-12y+36$

Após aplicarmos bháskara, obteremos uma raiz de valor

$6$ .

Então:

$3^t=y$

$3^t=6$

$3^t=3.2$

Aplica-se o log de 3 nos dois lados.

$log_{3}{3^y}=log_{3}{(3.2)}$

$log_{3}{3^y}=log_{3}{3}+log_{3}{2}$

$y.1=1+0,6$

$y=1,6$

Como 0,6 horas correspondem a 36min. A resposta correta é 1h e 36min.

Resposta: C

7.

Para resolver este exercício a primeira coisa que deve ser feita é obter o valor de

$log_{10}{2}$ a partir de

$log_{10}{8}$ , que sabemos que vale

$a$ .

Então:

$log_{10}{8}=a$

$log_{10}{2^3}=a$

$3.log_{10}{2}=a$

$log_{10}{2}=\frac{a}{3}$

Logo, sabemos que

$log_{10}{2}$ é igual a

$\frac{a}{3}$

Agora, vamos resolver o que é pedido. O logaritmando de

$log_{10}{5}$ pode ser transformado em uma divisão entre dois outros logaritmandos com resultados conhecidos: 10 e 2.

Veja:

$log_{10}{5}$

$log_{10}{(\frac{10}{2})}$ , que, aplicando a propriedade, pode ser transformado em:

$log_{10}{10}-log_{10}{2}$

Como sabemos que

$log_{a}{a}=1$ (propriedade) e que

$log_{10}{2}=\frac{a}{3}$ (primeiro passo), podemos obter:

$1 - \frac{a}{3}$

Resposta: E

8.

Para resolver esta questão, você deve se lembrar que:

$a^{log_{a}{b}}=b$

Assim:

$5^{(-log_{5}{3}).(log_{3}{7})}$

$5^{(log_{5}{3^{-1}}).(log_{3}{7})}$

$3^{-1.(log_{3}{7})}$

$3^{(log_{3}{7^{-1})}}$

$7^{-1}$

$\frac{1}{7}$

Resposta: D

9.

A produção no ano x será dada por:

$P_f=P_i.(1,2)^x$

Como

$P_f=3P_i$

$3P_i=P_i.(1,2)^x$

$3=1,2^x$

Aplicando log dos dois lados

$log_{10}{3}=log_{10}{(1,2)}^x$

$log_{10}{3}=log_{10}({\frac{12}{10}})^x$

$0,48=x.(log_{10}{12}-log_{10}{10})$

$0,48=x.[log_{10}{(2.2.3)}-1]$

$0,48=x.(log_{10}{2}+log_{10}{2}+log_{10}{3}-1)$

$0,48=x.(0,48+0,3+0,3-1)$

$0,48=x.(0,08)$

$x=\frac{0,48}{0,08}$

$x=6$

$1996+6=2002$

Resposta: E

10.

Temos dois níveis sonoros medidos,

$N_1$ e

$N_2$ , associados às intensidades

$I_1$ e

$I_2$ , respectivamente. Eles são definidos por:

(I) -

$N_1=120+10.log_{10}{I_1}$

(II) -

$N_2=120+10.log_{10}{I_2}$

Sabendo que

$N_1-N_2=20db$ , podemos substituir:

$120+10.log_{10}{I_1}-120+10.log_{10}{I_2}=20$

$10.log_{10}{I_1}-10.log_{10}{I_2}=20$ , isolando o 10, temos:

$10.(log_{10}{I_1}.log_{10}{I_2})=20$

$log_{10}{I_1}.log_{10}{I_2}=2$

$log_{10}{\frac{I_1}{I_2}}=2$ , usando a definição:

$\frac{I_1}{I_2}=10^2$

Resposta: D

Fernando Soares