Logaritmos: definição, propriedades, mudança de base e equações logarítmicas

Os logaritmos foram criados no século XVII com o objetivo de facilitar a resolução de funções exponenciais, quando os lados da igualdade não forem facilmente redutíveis a exponenciações de mesma base.

Veja:

$2^x$ =

$6$

No exemplo acima, para resolvermos esta equação, deveríamos transformar o número 6 em uma exponenciação, onde a base deveria ser 2. Assim, cortaríamos a base e igualaríamos os expoentes. Porém, transformar o 6 em uma exponenciação de base 2 é uma tarefa bastante difícil, pois o expoente não seria um número inteiro.

Foi com o objetivo de resolver mais facilmente estas equações que foi criado o logaritmo.

Definição

Um logaritmo é escrito da seguinte maneira:

$log_{a}{b}$ =

$x$

Onde:

a = base

b = logaritmando

x = logaritmo

Por extenso: logaritmo de b na base a é igual a x

Para calcular uma expressão do tipo, fazemos o seguinte:

Vejamos um exemplo numérico:

$log_{5}{25}$ =

$x$

$5^x$ =

$5^5$

$x=5$

Note que, ao aplicarmos a definição, obtemos uma equação exponencial. A partir daí, a resolução pode ser feita normalmente, igualando as bases e as eliminando em seguida.

Como condição de existência, b e a devem ser maior que 0, isto é, não podem ser um número negativo, e a tem que ser diferente de 1.

b>0 e 0<a≠1

Exercício de fixação 1

Descubra o valor de x:

$log_{\frac{1}{2}}{\sqrt{64}}=x$

Resolução:

$(\frac{1}{2})^x=\sqrt{64}$

$(\frac{1}{2})^x=8$

$(\frac{1}{2})^x=2^3$

$2^-x=2^3$

$x=-3$

Propriedades

A partir da definição, é possível depreender algumas propriedades, que serão importantes para a resolução de alguns exercícios.

São elas:

$log_{a}{a}$ =

$1$ , pois

$a^1=a$

II.

$log_{a}{1}$ =

$0$ , pois

$a^0=1$

III.

$log_{a}{a}^k$ =

$k$ , pois

$a^k=a^k$

IV.

$a^{log_{a}{b}}$ =

$b$

A explicação para a última das propriedades é bastante simples.

$log_{a}{b}$ =

$log_{a}{b}$ , então

$a^{log_{a}{b}}$ =

$b$

Note que, se aplicarmos a definição à igualdade

$log_{a}{b}$ =

$log_{a}{b}$ (obtido através da lógica), obteremos exatamente a definição apresentada pela última propriedade.

Exercício de fixação 2

$log_{a}{(ab)}=10$ , então

$log_{a}{b}$ é igual a:

Resolução:

$log_{a}{(ab)}=10$

$log_{a}{a}+log_{a}{b}=10$ (Propriedade V, que será vista a seguir)

$1+log_{a}{b}=10$ (Propriedade I)

$log_{a}{b}=9$

Outras propriedades muito importantes e que devem ser decoradas para a resolução dos exercícios são:

$log_{a}(b.c)$ =

$log_{a}b+log_{a}c$

VI.

$log_{a}(\dfrac{b}{c})$ =

$log_{a}b-log_{a}c$

VII.

$log_{a}{b}^c$ =

$c.log_{a}b$

VIII.

$log_{a^c}{b}$ =

$\dfrac{1}{c}.log_{a}b$

Exercício de fixação 3

(VUNESP) Se

$x=log_{8}{25}$ e

$y=log_{2}{5}$ , então

$x=y$

$2x=y$

$3x=2y$

$x=2y$

$2x=3y$

Resolução:

$x=log_{8}{25}$

$x=log_{2^3}{5^2}$

$x=\frac{2}{3}log_{2}{5}$ (Propriedades VII e VIII)

$x=\frac{2}{3}y$

$3x=2y$

Resposta: C

Exercício de fixação 4

(FEI-SP) Se

$log_{10}{2}=a$ e

$log_{10}{3}=b$ , escrevendo

$log_{10}{\frac{32}{27}}$ em função de a e b, obtemos

$2a+b$

$2a-b$

$2ab$

$\frac{2a}{b}$

$5a-3b$

Resolução:

$log_{10}{\frac{32}{27}}$

$log_{10}{\frac{2^5}{3^3}}$

$log_{10}{2^5}-log_{10}{3^3}$ (Propriedade VI)

$5.log_{10}{2}-3.log_{10}{3}$

$5.a-3.b$ (Propriedade VII)

Resposta: E

Mudança de base

Em muitos casos, na resolução de exercícios, precisamos alterar a base de um dos logaritmos da equação, com o objetivo de poder utilizar as outras propriedades descritas acima e, assim, obter o resultado final. Esta mudança ocorre através da seguinte propriedade:

$log_{a}b$ =

$\dfrac{log_{c}b}{log_{c}a}$

Vamos a um exemplo:

Escreva

$log_{3}5$ na base 5:

$log_{3}5$ =

$\dfrac{log_{5}5}{log_{5}3}$ =

$\dfrac{1}{log_{5}3}$

Equações logarítmicas

Por vezes, é comum encontrarmos a incógnita não no logaritmo, mas na base ou no logaritmando. É o que chamados de equações logarítmicas. Para resolver este tipo de exercício, devemos usar, além das propriedades, as condições de existência. Vejamos sua aplicação no exercício abaixo.

Exercício de fixação 5

Resolver, em

$\mathbb{R}$ , a equação

$log_{2}{(1-5x)}=-3$

Resolução:

Primeiramente, devemos aplicar a condição de existência, com o objetivo de excluir os valores de x que a violem. Para isso, devemos lembrar que o logaritmando deve ser maior que zero. Assim:

$b>0$

$1-5x>0$

$-5x>-1$

$5x<1$ (ao multiplicarmos ambos os lados por -1, o sinal de menor se inverte)

$x<\frac{1}{5}$

Assim, x deve ser menor que

$\frac{1}{5}$ para que b seja maior que 0

Agora, devemos aplicar as propriedades.

$2^{-3}=1-5x$

$\frac({1}{2})^3=1-5x$

$\frac{1}{8}=1-5x$

$1=8-40x$

$40x=7$

$x=\frac{7}{40}$

Como

$\frac{7}{40} < \frac {1}{5}$ , podemos concluir que

$S=\frac{7}{40}$

Fernando Soares